Bilangan Berpangkat Kepada Bentuk Akar (Materi & Soal)

Assalamu'alaikum Wr. Wb. Selamat datang di blog panas . Senang sekali rasanya kali ini angsal kami bagikan materi Matematika kelas 9 Semester 2 Bab Bilangan Berpangkat lagi Bentuk Akar beserta contoh soalnya.

Bilangan Berpangkat lagi Bentuk Akar

Bilangan Berpangkat Positif, Negatif, lagi Nol

panas Pengertian Perpangkatan

 
Perpangkatan merupakan perkalian berulang sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri.
 
Contoh:
2^2 (dibaca: dua pangkat dua) yg sama artinya dengan 2 x 2
4^3 (dibaca: empat pangkat tiga) yg sama artinya dengan 4 x 4 x 4
7^5 (dibaca: tujuh pangkat lima) yg sama artinya dengan 7 x 7 x 7 x 7 x 7

Ket. : ^ = pangkat

Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif merupakan bilangan yg mempunyai pangkat/ eksponen positif.

Contoh:
3^2 = 3 x 3 = 9
4^3 = 4 x 4 x 4 = 64
(-2)^2 = (-2) x (-2) = 4
(-5)^3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

Bilangan kuadrat sempurna seperti 1, 4, 9, lagi 16 angsal dinyatakan dalam bentuk geometri seperti di bawah ini:

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yg merupakan hasil kali dari suatu bilangan dengan dirinya sendiri.

Sebagai contoh di atas 16 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 16 = 4 panas x 4

4. Notasi 4 x 4 angsal dituliskan dalam bentuk pangkat. Bentuk pangkat ini menjelaskan dengan kita berapa suatu bilangan yg kita sebut sebagai panas basis maupun bilangan pokok digunakan sebagai faktor.

Bilangan yg digunakan sebagai pangkat disebut eksponen maupun pangkat.
Pernyataan 4 x 4 dituliskan sebagai 4^2. Pada notasi, 4 menyatakan panas bilangan pokok maupun basis, lagi 2 menyatakan pangkat maupun eksponen.

Contoh:
Tuliskan pernyataan berikut dalam bentuk eksponen
a. 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Bilangan pokoknya adalah 2 lagi faktornya adalah 5.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^5.

b. m x m x m x m
Bilangan pokoknya adalah m dan
faktornya adalah 4.
m x m x m x m = m^4.

c. 7
Bilangan pokoknya adalah 7 dan
faktornya adalah 1
7 = 7^1.

d. Tuliskan (2)(2)(2)( – 5)( – 5) dalam bentuk eksponen.
Dengan menggunakan sifat asosiatif kita kelompokkan faktor dengan bilangan pokok yg sama sebagai berikut:
(2)(2)(2)(-5)(-5) = [(2)(2)(2)][(-5)(-5)] = 2^3(-5)^2

Jarak antara bumi lagi matahari adalah sekitar10^8 kilometer.
Tuliskan bilangan ini sebagai pernyataan perkalian lagi hitunglah hasilnya.
10^8 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 100.000.000
Jarak antara bumi lagi matahari adalah sekitar 100 juta kilometer.

Bilangan Berpangkat Negatif lagi Nol

Bilangan bulat berpangkat negative

Tidak semua pangkat bernilai positif. Beberapa pangkat adalah bulat negatif.
Perhatikan pola bilangan berikut untuk menemukan nilai 10^-1 lagi 10^-2. panas Dengan memperluas pola yg ada, maka hasil yg angsal diperoleh adalah panas 10^-1 = 1/10 lagi 10^-2 = 1/10^2 1/100

Pada pola tersebut, apabila kamu kalikan bilangan pokok, pangkatnya panas ke atas panas satu. Sebagai contoh 10^3 x 10 = 10^4. Sedangkan apabila kamu bagi dengan panas bilangan pokok, pangkatnya turun satu. Sebagai contoh, 10^-2 : 10 = 10^-3
Untuk setiap a є R lagi a ≠ 0 berlaku

Bilangan a^(-n) disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.
Contoh: 

 (-6)-3 = (-1/6)^3 = (-1/6) x (-1/6) x (-1/6) = -1/216
Tuliskan 10^-3 menggunakan pangkat positif. Kemudian tentukan nilainya.
10^-3 = 1/〖10〗^3 = 1/1000 = 0,001

Sederhanakan pernyataan
xy-2 = x . y-2 = x. 1/( y^2 ) = x/y^2
Bakteri E.coli memiliki lebar 10-3 milimeter. Jarum pentul memiliki panas diameter 1 milimeter. Berapa banyak bakteri E.coli yg angsal mengisi panas diameter jarum tersebut.

Untuk menentukan banyak bakteri, bagilah 1 dengan 10^-3 = 1/〖10^(-3) = 10^3 = 1000
Jadi banyak bakteri yg angsal mengisi diameter jarum pentul adalah 1000 bakteri.

Bilangan bulat berpangkat nol
 
Untuk setiap a є R lagi a ≠ 0, maka

Bilangan a^0 = disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.

Contoh:
3^0 = 1
(-10)^0 = 1
(-21)^-3 + (-21)^3 = (-21)^0 = 1

Bilangan Pecahan Berpangkat

Bentuk pangkat angsal ditulis sabagai berikut:

(a/b)^n= a/b x a/b x…x a/b= a^n/b^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, lagi n > 0
(a/b)^(-n)= b/a x b/a x…x b/a= b^n/a^n

Sebanyak n buah, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, lagi n n, a ≠ 0
a^m/a^n = 1/a^(n-m) , , dengan m < 0, a ≠ 0
(a x b)m = am x bm
(a/b)^m = a^m/b^m , dengan b ≠ 0
 

Contoh:
p 2 . p -6 = p 2-6 = p -4 = 1/p^4
(p -3 . q 5)4 = (p -3)4 . (q 5)4 = p -12 . q 20 = q^20/p^12
p^10/p^6 = p10-6 = p4
(p^(-1)/q^3 )^(-5) = (p^(-1) )^(-5)/(q^3 )^(-5) = p^5/q^(-15) = p5q15
(-6p)0 = 1

Bentuk Akar
 

Rindy mempunyai sehelai saputangan yg berbentuk persegi dengan luas panas 900 cm persegi. Supaya indah, Rindy bakal menambahkan renda di tepi panas saputangan. Berapa panjang renda yg diperlukan Rindy?
Untuk membantu Rindy, kita harus tahu panjang sisi persegi agar kita angsal menghitung keliling saputangan tersebut.

Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Rindy harus menentukan n × panas n = 900. Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 maupun 302 = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 lagi ditulis sebagai √900 = 30.
Dengan demikian Rindy harus menyediakan renda dengan panjang 4 x 30 cm = 120 cm.
Bentuk √900 dibaca “ akar kuadrat dari 900 “.

Simbol √ disebut tanda akar, digunakan untuk menyimbolkan akar pangkat dua.
Contoh:
√(36 ) = 6
– √36 = -6 

Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif.

Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, maka panas kita bakal berhadapan dengan bentuk akar yg lain, yaitu akar pangkat panas tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus adalah 64 cm3, berapakah panas panjang rusuk kubus tersebut?

Misal panjang rusuk tersebut adalah p, maka volume kubus adalah
V = p x p x p
= p3
 

Dengan demikian diperoleh p3 = 64. Bagaimanakah kita memperoleh p? Ingat bahwa 43 = 64 dengan demikian p = 4.

Secara umum angsal kita tuliskan:

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut
√49
Karena 72 = 49, maka √49 = 7
-√64
Karena 82 = 64, maka -√64 = -8

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :  
3² = 3 x 3 
2³ = 2 x 2 x 2  
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5   

Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.   

Dengan a bilangan bulat lagi n bilangan bulat positif. Dari pengertian di atas bakal diperoleh sifat-sifat berikut.
 
Sifat 1 aⁿ x aⁿ = a^{m + n}   

2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³   

Sifat 2 a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n 

5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}   

 Sifat 3 (a^m)ⁿ = a^{m x n} 

(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
           = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
           = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
           = 38
       = 3^{4 x 2}
 
Sifat 4 (a x b)^m = a^m x b^m 

(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³   

Sifat 5 (a : b)^m = a^m : b^m  

(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu angsal disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 lagi 2^-n = ¹/_2ⁿ
 
Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat

Kita panas sedia mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a panas lagi b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah andaikan pecahan dipangkatkan panas dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yg dipangkatkan panas dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan panas bulat yg dipangkatkan dengan bilangan bulat. 

Bentuk Akar lagi Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional lagi Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yg angsal dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan panas a, b bilangan bulat lagi b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan panas dari bilangan bulat, nol, lagi pecahan. Contoh bilangan rasional adalah panas -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.
 
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yg tidak angsal dinyatakan dalam bentuk^a/_b dengan a, b bilangan bulat lagi b ≠ 0. Contoh panas bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, andaikan dihitung panas dengan kalkulator merupakan desimal yg tak berhenti maupun bukan desimal panas yg berulang. Misalnya 
√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional lagi irasional disebut bilangan real. panas

Bentuk Akar

Berdasarkan panas pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . panas Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan panas contoh yg lain?  Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yg hasilnya bukan bilangan Rasional.  Bentuk akar angsal disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi √a² = a andaikan a ≥ 0, lagi –a andaikan a < 0 

Contoh : Sederhanakan bentuk akar berikut √75 Jawab : √75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan lagi Sebaliknya

Bentuk panas √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat panas dengan syarat tidak ada bilangan yg hasil kuadratnya sama dengan a. panas oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 lagi √19 merupakan bentuk akar panas kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

Operasi Aljabar dengan Bentuk Akar

Penjumlahan lagi Pengurangan

Penjumlahan lagi pengurangan dengan bentuk akar angsal dilakukan andaikan memiliki suku-suku yg sejenis.
 

   

Kesimpulan : jika a, c = Rasional lagi b ≥ 0, maka berlaku 
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b - c√b = (a - c)√b panas

Perkalian lagi Pembagian

Contoh : 

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku dengan operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.  

Contoh :  

 

Operasi Campuran

Dengan panas memanfaatkan sifat-sifat dengan bilangan berpangkat, kalian bakal lebih panas sepele menyelesaikan soal-soal operasi campuran dengan bentuk akarnya. panas Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung panas berikut.

• Prioritas yg didahulukan dengan operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yg ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat lagi akar sama kuat;
2. kali lagi bagi sama kuat;
3. tambah lagi kurang sama kuat, artinya mana yg lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali lagi bagi lebih kuat daripada tambah lagi kurang, artinya kali lagi bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :
 

 

Merasionalkan Penyebut

 

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya    

Agar panas nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus panas dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar dengan panas penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yg bakal panas dirasionalkan berturut-turut adalah

Merasionalkan panas penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional panas menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional. panas

Penyebut Berbentuk √b

Jika a lagi b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√bdapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b . 

 

Penyebut Berbentuk (a+√b) maupun (a+√b)

Jika panas pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) maupun (a+√b) maka panas pecahan tersebut angsal dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang panas lagi penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) panas adalah lagi sebaliknya. Bukti  :

  

Penyebut Berbentuk (√b+√d) maupun (√b+√d)

Pecahan panas tersebut angsal dirasionalkan dengan mengalikan pembilang lagi panas penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut. 

Demikian  materi Matematika kelas 9 Semester 2 Bab Bilangan Berpangkat lagi Bentuk Akar beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat.